Independent and dependent events and conditional probability

これまで､ この講座では､ 独立した事象の確率についてお話ししてきました｡ このビデオでは､ 独立事象と従属事象の違いと､ それぞれの事象に対する確率の計算方法について見ていきたいと思います｡ そこで､ まずは独立事象について簡単におさらいしておこう｡ 独立事象とは､ 簡単に言えば､ 互いに影響を及ぼさない事象のことである｡ だから､ 例えば､ コインをはじく｡ コインをはじくたびに､ それが1つの試練､ 1つの実験だと思えばいいのです｡ 独立事象とは､ ある試行が次の試行の結果に影響を与えない事象､ あるいはある実験の結果が前の実験の結果に影響を与えない事象のことである｡ コイン投げはそのいい例で､ 1回だけ試しに1番を出したら､ 2番を出したら､ 3番を出したら､ 4番を出したら､ 5番を出しました｡ そのトライアルに乗ることができるかどうかは､ 頭か尾かのどちらかだと言っています｡ 選択肢は2つある｡ さて､ もう一度コインをはじくとしよう｡ ここで裁判の2回目を行います｡ つまり､ 1回目のトライアルで､ ヘッドが出たとします｡ 頭が出た｡ 私はコインを拾い上げ､ 2回目の試行を行う｡ その場合､ 1回目で裏が出た場合､ そのコインを拾ってもう一度裏返すと､ 表が出るか裏が出るかのどちらかになるんだ｡ そして､ 私の選択肢､ 私の結果は､ いくら試行錯誤を繰り返しても､ いつも同じになるのです｡ コインを毎回20回ひっくり返しても､ 表か裏のどちらかが出てくるんです｡ 各フリップは､ その前のフリップの影響を受けません｡ だから､ 2回目の試行でコインをはじくとき､ 2回目のコインをはじくんです｡ 一回目に頭が出たか､ 一回目に尻尾が出たかは全く関係ないんです｡ 今でも公平にフリップして､ ヘッドかテールが出る確率は等しいんだ｡ つまり､ 試行回数2は試行回数1の結果に全く影響されないのだ｡ 1回目のフリップでヘッドが出たとしても､ 2回目のフリップでヘッドが出る可能性が高くなるわけではありません｡ また､ 2回目のフリップでテールが出る可能性が高くなるわけでもない｡ 1回目のフリップでテールが出ても､ 2回目のフリップでヘッドが出る可能性が高いとか､ テールが出る可能性が高いとかいうことはないんです｡ 1回目の裏表に関係なく､ 2回目に表か裏が出る確率は同じです｡ つまり､ それぞれの試行が他の試行に何の影響も与えないので､ これらは独立した事象なのです｡ このことを数学的に説明すると､ 独立事象の掛け算の法則を使うことになる｡ 掛け算の法則を使うと､ 試行や実験のたびに､ 特定の結果が得られる確率を求めることができます｡ 例えば､ 「1回目のフリップでヘッドが出た後､ 2回目のフリップでヘッドが出る確率はどれくらいか？ 掛け算のルールでは､ 「1番の裁判で特定の結果が出る確率はどれくらいか？ そして､ 2回目の試験で特定の結果が得られる確率は？ そして､ この2つのことが連続して起こる確率はどのくらいなのでしょうか？ さて､ 覚えておいてほしいのは､ 事象は独立しているので､ 互いに何の影響も及ぼさないということです｡ つまり､ 事象Aが起こる確率と事象Bが起こる確率は､ 2つの別々の試行で起こるということです｡ つまり､ イベントAは1回目の試行で発生する｡ 試行回数2で事象Bが発生する確率は､ 事象Aの確率に事象Bの確率を掛けたものに過ぎない｡ つまり､ コインを2回ひっくり返して､ オモテが出る確率とウラが出る確率を知りたいとしたら､ どうすればいいのでしょう？ さて､ イベントAはテイルズです｡ 最初のフリップで イベントBは2回目のフリップでテイルズ｡ 事象Aの確率は､ 1回目のフリップでテールが出る確率は何％か？ まあ､ 1回のフリップでヘッドかテールのどちらかが出る確率は50％なので､ 半分ということは分かっているのですが｡ 事象Bの確率は？ 2回目のフリップでテールが出る確率は？ まあね｡ これらは独立したイベントであることを忘れないでください｡ 独立事象との掛け算のルールを使っているので､ 最初のフリップは全く考えなくていいんです｡ 試練その2は､ 基本的にコインをはじくだけです｡ 第一審のことは､ もう忘れてもいいんです｡ だから､ コインをはじくだけなんです｡ テールが出る確率は？ まあ､ それでも2分の1ですから､ そうすると､ テールとテールが出る確率は2分の1になるわけです｡ 2 分の 1 または 4 分の 1 を掛けたもの｡ あるいは25％の確率で｡ そして､ それは私たちが2つの尾を得る確率を見たからこそ､ 理解できるはずです｡ コインを2回はじくとき｡ 何？ コインを2回ひっくり返すと､ どんな結果になるのか？ ヘッドも取れるし､ ヘッドも取れる｡ ヘッドが出た後にテールが出ることもある｡ テールからヘッドになることも､ テールからテールになることもある｡ コインを2回ひっくり返したときに出る可能性のある結果はこの4つだけですが､ 「オモテとウラが出る確率はどれくらいか？ さて､ 4つの可能な結果がありますが､ 私たちが関心を持つ基準を満たすのは1つだけです｡ つまり､ 4人に1人の確率､ 25％です｡ 掛け算のルールが教えてくれるのは､ それだけです｡ これは､ 複数の独立した事象が連続した試行で起こる確率を与えているのです｡ もうひとつ､ 独立事象について言いたいのは､ 事象が独立しているのは､ 5050の確率で発生するからではない､ ということです｡ ここでは､ コインをはじくことを例にしていますが､ コインをはじくと､ 表か裏が出る確率は同じです｡ 50%の確率でヘッド､ 50%の確率でテールが出ます｡ これらの確率が等しいというだけで､ コインを投げることは独立した事象ではない｡ コインを1回ひいて､ もう1回ひいても､ お互いに何の影響も及ぼさないので､ コインをひっくり返すことは独立したイベントになります｡ また､ バスケットボールのフリースローのような例もあります｡ つまり､ プロのバスケットボール選手は､ どんなフリースローも80％の確率で成功させることができるのです｡ なぜそれがわかるかというと､ このバスケットボール選手は､ プロのキャリアで2万回くらいフリースローを打っているからです｡ そして､ その間に､ 彼がその8割程度を稼いでいることがわかりました｡ だから､ 彼のフリースローの割合は80％だと言うのです｡ 彼はフリースローを約80％決めていることが分かっています｡ では､ その場合､ 彼が2本続けてフリースローを決める確率はどれくらいでしょうか？ それらは独立したイベントであると仮定します｡ つまり､ 1本目のフリースローを決めても､ 2本目のフリースローを決めるかどうかには何の影響もなく､ その逆もまた然りなのです｡ フリースローは1本1本が独立したイベントです｡ そこで､ 掛け算の法則に戻ると､ これらの事象は独立しているので､ AとBの確率を言うと､ AとBの確率は同じになります｡ aの確率にbの確率を掛けたものになるんです｡ と言っているのです｡ イベントAは､ 彼が最初のフリースローを決めることです｡ イベントBは､ 彼が2投目のフリースローを決めることです｡ そして､ 事象Aの確率は80％であると言いたいのです｡ 彼は80％のフリースローシュートを持っています｡ ですから､ 事象Aの確率は0と言えます｡ 8. 事象Bの確率､ 彼がフリースロー2番を決める確率は？ まあ､ 彼はフリースローの確率が8割だから､ どのシュートでも8割の確率で決まるんだけどね｡ だから､ 今回も0なんです｡ 8. また､ これらを10人中8人､ 80％と表現することもできる｡ しかし､ どちらにしても､ その時は､ 作る確率と作る確率は0に等しいと言うのです｡ 8回 0. 8. どちらが0になるかというと 64または64％です｡ つまり､ 彼が2本続けてフリースローを決める確率は64％｡ さて､ フリースローの射手が80％の確率でフリースローを決められると考えると､ 少し混乱することがあります｡ なぜ､ 2回連続で作る確率が80％以下なのだろう？ なぜ64％なのか､ いつも80％だけではないのか｡ まあ､ 極端な話､ こういう考え方もできますね｡ フリースローの確率が8割の彼が､ 100万回連続でフリースローを決める確率は？ 100万本のフリースローを連続で決めることは､ 極めて低い確率です｡ どこかで見逃しているに違いない｡ 10人中8人しか作らないっていう｡ つまり､ 10本のシュートのうち2本は､ 歴史的に見ても失敗しているのです｡ だから､ 100万本もシュートを打てば､ どこかでミスするはずだ｡ そのため､ 連続させればさせるほど､ その確率は低くなる｡ つまり､ 1000本連続でシュートを打つより､ 100万本連続でシュートを打つ方が確率が低いのだ｡ 彼は10本連続でシュートを打つより､ 1000本連続でシュートを打つ方が確率が低いのです｡ シュート数が少なければ少ないほど､ 彼がすべてのシュートを決める可能性は高くなる｡ つまり､ 彼がすべてのフリースローの80％を成功させても､ 2本続けて成功させろと言っても､ その確率は64％しかないのです｡ そして､ それぞれの事象が成功する確率は80％であるのに対して､ ここではコインをひっくり返して､ ある種の成功である「オッズ」と呼ばれる確率があることに注目してください｡ そして､ その成功確率は50％であった｡ テールが出る確率は50％でした｡ フリースローが決まる確率は80％だった｡ だから､ これらの独立したイベントを作るのは､ 割合ではない｡ それは､ 1番のフリースローが2番のフリースローに影響を与えず､ その逆もまた然りという事実だ｡ そして､ コインフリップの1番が2番に影響を与えず､ 逆に2番が3番に影響を与えるということです｡ つまり､ これらは独立した事象であり､ 掛け算の法則を適用して､ 複数の独立した事象が発生する確率を求める方法です｡ ここで､ 従属事象との対比を行いたい｡ つまり､ これらはすべて独立したイベントだったのです｡ そして､ 今度は従属イベントを見てみたいと思います｡ 従属事象とは､ 互いに影響し合う事象のことです｡ そして､ 最も典型的な例が､ トランプの山からカードを引くことです｡ 例えば､ 52枚のトランプがあるとして､ その中から1枚引いてキングである確率と､ もう1枚引いてキングである確率はどのくらいか､ といったことです｡ つまり､ 最初のカードを入れ替えずに､ 山札からキングを2枚連続で引くこと､ そしてその入れ替えをしないことが､ これらの依存事象を起こすポイントになる｡ つまり､ こういうことです｡ 1番を引いた場合｡ あるいは引き分け｡ 1位と2位は世論調査 デッキから､ カードの入れ替えはしていません｡ まあ､ キングがポールになる確率が1番高いんですけどね｡ 52枚のカードデッキには4枚のキングがある｡ つまり､ 52通りの結果が考えられますが､ 私にとっての成功は4通りだけです｡ つまり､ 投票1番でキングを引く確率は52人中4人ということになる｡ さて､ 最初のカードを戻さなかったとしよう｡ 手元に置いています｡ 山札からもう一枚カードを引き､ そのカードもキングにしたい｡ さて､ 2回目の投票で王様が出る確率は52分の4ではありません､ なぜなら2つのことがあるからです｡ デッキのカードは52枚ではなくなりました｡ 51人しかいないし､ 四天王もいなくなった｡ 王は3人しかいない｡ つまり､ 2回目の抽選でキングを引く確率は､ 52分の4ではないのだ｡ 今すぐ 51人中3人です｡ つまり､ 1回目の投票で山札から何を抜くかが､ 2回目の投票で山札から何を抜くかに影響するのです｡ 最初の投票でキングを引いたか､ 7を引いたか､ それとも他のカードを引いたかによって違うんだ｡ 投票番号2の選択肢を変更します｡ それは素晴らしい考え方ですね｡ 第2回投票の選択肢を変更しています｡ 私の可能性､ 私の可能な結果は､ 2番目の投票と1番目の投票とでは同じではありません｡ これは依存的な事象で､ 最初の試行や実験の結果が､ 2番目の試行や実験の結果に影響を与えるような､ 互いに影響し合う事象である｡ ただし､ デッキからカードを引いていて､ その都度カードを入れ替えている場合は注意が必要です｡ 例えば､ 1回ポーリングして､ カードを1枚もらって､ そのカードを山札に戻すわけです｡ 私はデッキをシャッフルし､ デッキをテーブルに置いて2枚目のカードを引く｡ 私はそれを見ています｡ それを山札に戻し､ もう一度シャッフルして､ 山札をテーブルに置き､ 3枚目のカードを引きます｡ そして､ それらは独立した事象である｡ その都度カードを入れ替えて､ デッキを入れ替えているんです｡ だから､ 私の確率は毎回同じになるんです｡ なぜなら､ それぞれのポールに52枚のカードデッキがあり､ それがランダムにシャッフルされているからです｡ だから､ 私がどのカードを引くかは､ 毎回同じ確率になるんです｡ カードを入れ替えずに､ ひたすら山札から次々と抜いていくと､ 試行間で特定の1枚を引く確率が変わってくるんです｡ では､ 従属事象にはどのような確率式を用いるのだろうか｡ まあ､ AとBの確率を求めるという点では掛け算の法則と同じですが､ ここではAとBの両方が起こる確率を表す式がありましたね｡ ここで独立した事象があるとき､ AとBの確率を言うことにします｡ どちらも起こるが､ 依存する事象のため｡ その確率は､ aが起こる確率に､ 今まで見たこともないような新しい表記を掛けたものになります｡ そして､ これは事象Bが起こる確率を意味します｡ この線は与えられたという意味です｡ つまり､ 事象Aがすでに起こったと仮定して､ 事象Bが起こる確率です｡ 独立した事象があるとき､ AとBの両方が起こる確率は､ AAが起こる確率とBが起こる確率の積に過ぎないのです｡ しかし､ 従属事象の場合は､ AとBの両方が起こる確率を､ 最初の投票でAが起こる確率と見る｡ これは､ それ以前に何も起きていないのだから､ それ自体独立した出来事だと考えてもよいだろう｡ 今回が第1回目の開催となります｡ ということになります｡ しかし､ 2つ目の事象については､ AとBが依存関係にあるため､ 事象Aがすでに起こったと仮定しなければならないのです｡ ですから､ 単に事象Bの確率を掛けるだけではダメで､ Aがすでに起こったと仮定して､ 事象Bの確率を言わなければならないのです｡ 例えば､ そのキングを2つ並べたい場合､ イベントAはポール上のキングになるわけです｡ ナンバーワンイベントBはキングオンだろう｡ 世論調査 その2､ aが起こる確率｡ さて､ 今回も投票1位は､ 52枚のカードデッキが揃いました｡ デッキには4枚のキングがある｡ つまり､ キングを引く確率は52分の4ということになる｡ しかし､ Aがすでに起こったと仮定した場合の事象Bの確率は､ 2回目の試行でキングを引く確率は､ キングを引くと仮定したaの結果に依存します｡ 2回目にキングを引く確率は､ 山札にキングが3枚しか残っていないので3÷全部で51枚しか残っていないので51です｡ したがって､ キングとキングのバック・トゥ・バックの確率は52分の4と言える｡ 事象aの確率に､ Aが与えられた場合のBの確率を掛けたもの､ または51に対して3の確率｡ これらの分数は､ 実は最小の項まで減らすことができる｡ 52を超える4本は13を超える1本と同じ､ 51を超える3本は17を超える1本と同じです｡ ということは､ 分子の1×1は113､ 分母の17は221となる｡ つまり､ キングを2枚連続で引く確率は221分の1ということになる｡ つまり､ 2回連続でキングを引ける確率は1％以下なのだ｡